Больцмана постоянная. Универсальная газовая постоянная — универсальная, фундаментальная физическая константа R, равная произведению постоянной Больцмана k на постоянную Авогадро

Постоянная Больцмана перекидывает мост из макромира в микромир, связывая температуру с кинетической энергией молекул.

Людвиг Больцман — один из создателей молекулярно-кинетической теории газов, на которой зиждется современная картина взаимосвязи между движением атомов и молекул с одной стороны и макроскопическими свойствами материи, такими как температура и давление, с другой. В рамках такой картины давление газа обусловлено упругими ударами молекул газа о стенки сосуда, а температура — скоростью движения молекул (а точнее, их кинетической энергией).Чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура.

Постоянная Больцмана дает возможность напрямую связать характеристики микромира с характеристиками макромира — в частности, с показаниями термометра. Вот ключевая формула, устанавливающая это соотношение:

1/2 mv 2 = kT

где m и v — соответственно масса и средняя скорость движения молекул газа, Т — температура газа (по абсолютной шкале Кельвина), а k — постоянная Больцмана. Это уравнение прокладывает мостик между двумя мирами, связывая характеристики атомного уровня (в левой части) с объемными свойствами (в правой части), которые можно измерить при помощи человеческих приборов, в данном случае термометров. Эту связь обеспечивает постоянная Больцмана k , равная 1,38 x 10 -23 Дж/К.

Раздел физики, изучающий связи между явлениями микромира и макромира, называется статистическая механика. В этом разделе едва ли найдется уравнение или формула, в которых не фигурировала бы постоянная Больцмана. Одно из таких соотношений было выведено самим австрийцем, и называется оно просто уравнение Больцмана :

S = k log p + b

где S — энтропия системы (см. Второе начало термодинамики), p — так называемый статистический вес (очень важный элемент статистического подхода), а b — еще одна константа.

Всю жизнь Людвиг Больцман в буквальном смысле опережал свое время, разрабатывая основы современной атомной теории строения материи, вступая в яростные споры с подавляющим консервативным большинством современного ему научного сообщества, считавшего атомы лишь условностью, удобной для расчетов, но не объектами реального мира. Когда его статистический подход не встретил ни малейшего понимания даже после появления специальной теории относительности, Больцман в минуту глубокой депрессии покончил с собой. Уравнение Больцмана высечено на его надгробном памятнике.

Boltzmann, 1844-1906

Австрийский физик. Родился в Вене в семье госслужащего. Учился в Венском университете на одном курсе с Йозефом Стефаном (см. Закон Стефана—Больцмана). Защитившись в 1866 году, продолжил научную карьеру, занимая в разное время профессорские должности на кафедрах физики и математики университетов Граца, Вены, Мюнхена и Лейпцига. Будучи одним из главных сторонников реальности существования атомов, сделал ряд выдающихся теоретических открытий, проливающих свет на то, каким образом явления на атомном уровне сказываются на физических свойствах и поведении материи.

Согласно закону Стефана – Больцмана плотность интегрального полусферического излучения E 0 зависит только от температуры и изменяется пропорционально четвертой степени абсолютной температуры T :

Стефана – Больцмана постоянная σ 0 – физическая постоянная, входящая в закон, определяющий объемную плотность равновесного теплового излучения абсолютно черного тела:

Исторически закон Стефана-Больцмана был сформулирован раньше закона излучения Планка, из которого он вытекает как следствие. Закон Планка устанавливает зависимость спектральной плотности потока излучения E 0 от длины волны λ и температуры T :

где λ – длина волны, м; с =2,998 10 8 м/с – скорость света в вакууме; Т – температура тела, К;
h = 6,625 ×10 -34 Дж×с– постоянная Планка.

Физическая постоянная k , равная отношению универсальной газовой постоянной R =8314Дж/(кг× K) к числу Авогадро NA =6,022× 10 26 1/(кг× моль):

Число различных конфигураций системы из N частиц для данного набора чисел n i (число частиц, находящихся в i -том состоянии, которому соответствует энергия e i ) пропорционально величине:

Величина W есть число способов распределения N частиц по энергетическим уровням. Если справедливо соотношение (6) то считается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана. Набор чисел n i , при котором число W максимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятному распределению.

Физическая кинетика – микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных системах.

Описание большого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами. Для одноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами и значениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии:

есть ожидаемое число молекул в объеме d d , координаты которых находятся в интервале от до +d , а скорости в интервале от до +d.

Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией, то газ называется идеальным. Идеальный газ называется газом Больцмана, если отношение длины пробега молекул в этом газе к характерному размеру течения L конечно, т.е.

т.к. длина пробега обратно пропорциональна nd 2 (n – числовая плотность 1/м 3 , d – диаметр молекулы, м).

Величину

называют H -функцией Больцмана для единицы объема, которая связана с вероятностью обнаружения системы из молекул газа в данном состоянии. Каждому состоянию соответствуют определенные числа заполнения шестимерных пространственно-скоростных ячеек, на которые может быть разбито фазовое пространство рассматриваемых молекул. Обозначим W вероятность того, что в первой ячейке рассматриваемого пространства окажется N 1 молекул, во второй N 2 и т.д.

С точностью до постоянной, определяющей начало отсчета вероятности, правомерно соотношение:

,

где – H-функция области пространства А , занятой газом. Из (9) видно, что W и H взаимосвязаны, т.е. изменение вероятности состояния приводит к соответствующей эволюции H функции.

Больцмана принцип устанавливает связь между энтропией S физической системы и термодинамической вероятностью W её состояния:

(печатается по изданию: Коган М.Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967.)

Общий вид КУБ:

где – массовая сила, обусловленная наличием различных полей (гравитационного, электрического, магнитного), действующая на молекулу; J – интеграл столкновений. Именно этот член уравнения Больцмана учитывает столкновения молекул друг с другом и соответствующие изменения скоростей взаимодействующих частиц. Интеграл столкновений представляет собой пятимерный интеграл и имеет следующую структуру:

Уравнение (12) с интегралом (13) получено для столкновения молекул, при которых не возникает тангенциальных сил, т.е. сталкивающиеся частицы считаются идеально гладкими.

В процессе взаимодействия внутренняя энергия молекул не меняется, т.е. предполагается, что эти молекулы являются идеально упругими. Рассматриваются две группы молекул, имеющих до соударения друг с другом (столкновения) скорости и (рис. 1), а после столкновения соответственно скорости и . Разность скоростей и называется относительной скоростью, т.е. . Ясно, что для гладкого упругого столкновения . Функции распределения f 1 ", f", f 1 ,f описывают молекулы соответствующих групп после и до столкновений, т.е. ; ; ; .

Рис. 1. Столкновение двух молекул.

В (13) входят два параметра, характеризующие расположение сталкивающихся молекул друг относительно друга: b и ε; b – прицельное расстояние, т.е. наименьшее расстояние, на которое сблизились бы молекулы при отсутствии взаимодействия (рис. 2); ε называют угловым параметром столкновений (рис. 3). Интегрирование по b от 0 до ¥ и по от 0 до 2p (два внешних интеграла в (12)) охватывает всю плоскость силового взаимодействия перпендикулярно вектору

Рис. 2. Траектория движения молекул.

Рис. 3. Рассмотрение взаимодействия молекул в цилиндрической системе координат: z , b , ε

Кинетическое уравнение Больцмана выведено при следующих допущениях и предположениях.

1. Считается, что происходит в основном столкновения двух молекул, т.е. роль столкновений одновременно трех и большего числа молекул незначительна. Это допущение позволяет использовать для анализа одночастичную функцию распределения, которая выше названа просто функцией распределения. Учет столкновения трех молекул приводит к необходимости использования в исследовании двухчастичной функции распределения. Соответственно анализ существенно усложняется.

2. Предположение о молекулярном хаосе. Оно выражается в том, что вероятности обнаружения частицы 1 в фазовой точке и частицы 2 в фазовой точке независимы друг от друга.

3. Равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием, т.е. функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия. Необходимо отметить, что анализируемый элемент должен быть малым, чтобы f в пределах этого элемента не менялась, но в то же время чтобы не была велика относительная флуктуация ~ . Потенциалы взаимодействия, используемые при вычислении интеграла столкновений, являются сферически симметричными, т.е. .

Распределение Максвелла-Больцмана

Равновесное состояние газа описывается абсолютным Максвелловским распределением, которое является точным решением кинетического уравнения Больцмана:

где m – масса молекулы, кг.

Общее локально-максвелловское распределение иначе называемое распределение Максвелла-Больцмана:

в том случае, когда газ движется как целое со скоростью и переменные n , T зависят от координаты
и времени t .

В поле тяготения Земли точное решение уравнения Больцмана показывает:

где n 0 = плотность у поверхности Земли, 1/м 3 ; g – ускорение силы тяжести, м/с 2 ; h – высота, м. Формула (16) является точным решением кинетического уравнения Больцман либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, не нарушающих этого распределения, при этом температура также должна оставаться постоянной.

Эта страница оформлена Пузиной Ю.Ю. при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований – проект №08-08-00638.

Определяющая связь между температурой и энергией . Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана , сделавшего большой вклад в статистическую физику , в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в Международной системе единиц (СИ) равно:

Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах значения величины. Постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний. В естественной системе единиц Планка естественная единица температуры задаётся так, что постоянная Больцмана равна единице.

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе , находящемся при абсолютной температуре , энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы , равна, как следует из распределения Максвелла, . При комнатной температуре (300 ) эта энергия составляет Дж , или 0,013 эВ . В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в .

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона . В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например, двухатомный газ имеет приблизительно пять степеней свободы.

Определение энтропии

Энтропия термодинамической системы определяется как натуральный логарифм от числа различных микросостояний , соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими () и макроскопическими состояниями (), выражает центральную идею статистической механики.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Постоянная Больцмана" в других словарях:

- (обозначение k), отношение универсальной ГАЗОВОЙ постоянной к ЧИСЛУ АВОГАДРО, равное 1,381.10 23 джоулей на градус Кельвина. Оно указывает на взаимосвязь между кинетической энергией частицы газа (атома или молекулы) и ее абсолютной температурой.… … Научно-технический энциклопедический словарь

постоянная Больцмана - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Boltzmann constant … Справочник технического переводчика

Постоянная Больцмана - Boltzmann Constant Постоянная Больцмана Физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная … Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.

постоянная Больцмана - Bolcmano konstanta statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Boltzmann constant vok. Boltzmann Konstante, f; Boltzmannsche Konstante, f rus. постоянная Больцмана, f pranc. constante de Boltzmann, f … Fizikos terminų žodynas

Соотношение S k lnW между энтропией S и термодинамической вероятностью W (k постоянная Больцмана). На Больцмана принципе основано статистическое истолкование второго начала термодинамики: природные процессы стремятся перевести термодинамическую… …

- (Максвелла Больцмана распределение) равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f e E/kT, где E сумма кинетической и потенциальной энергий … Большой Энциклопедический словарь

Не следует путать с постоянной Больцмана. Постоянная Стефана Больцмана (также постоянная Стефана), физическая постоянная, являющаяся постоянной пропорциональности в законе Стефана Больцмана: полная энергия, излучаемая единицей площади … Википедия

Значение постоянной Размерность 1,380 6504(24)×10−23 Дж·К−1 8,617 343(15)×10−5 эВ·К−1 1,3807×10−16 эрг·К−1 Постоянная Больцмана (k или kb) физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского… … Википедия

Статистически равновесная функция распределения по импульсам и координатам частиц идеального газа, молекулы к рого подчиняются классич. механике, во внешнем потенциальном поле: Здесь постоянная Больцмана (универсальная постоянная), абсолютная… … Математическая энциклопедия

Книги

• Вселенная и физика без "темной энергии" (открытия, идеи, гипотезы). В 2 томах. Том 1 , О. Г. Смирнов. Книги посвящены проблемам физики и астрономии, существующим в науке десятки и сотни лет от Г. Галилея, И. Ньютона, А. Эйнштейна до наших дней. Мельчайшие частицы материи и планеты, звезды и…

План:

Введение

• 1 Связь между температурой и энергией
• 2 Определение энтропии
Примечания

Введение

Постоянная Больцмана (k или k B ) - физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в системе СИ равно

Дж/К .

Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах значения величины. Постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако, вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний. В естественной системе единиц Планка естественная единица температуры задаётся так, что постоянная Больцмана равна единице.

Универсальная газовая постоянная определяется как произведение постоянной Больцмана на число Авогадро, R = k N A . Газовая постоянная более удобна, когда число частиц задано в молях.

1. Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе, находящемся при абсолютной температуре T , энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы, равна, как следует из распределения Максвелла k T / 2 . При комнатной температуре (300 К) эта энергия составляет Дж, или 0,013 эВ. В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в .

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона. В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например двухатомный газ уже имеет приблизительно пять степеней свободы.

2. Определение энтропии

Энтропия термодинамической системы определяется как натуральный логарифм от числа различных микросостояний Z , соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности k и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими (Z ) и макроскопическими состояниями (S ), выражает центральную идею статистической механики.

Примечания

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Fundamental Physical Constants - Complete Listing

Как точная количественная наука, физика не обходится без набора очень важных постоянных, входящих в качестве универсальных коэффициентов в уравнения, устанавливающие связь между теми или иными величинами. Это фундаментальные константы, благодаря которым подобные соотношения приобретают инвариантность и способны объяснять поведение физических систем на различном масштабе.

К числу таких параметров, характеризующих присущие материи нашей Вселенной свойства, относится и постоянная Больцмана - величина, входящая в ряд важнейших уравнений. Однако прежде чем обращаться к рассмотрению ее особенностей и значения, нельзя не сказать нескольких слов об ученом, чье имя она носит.

Людвиг Больцман: научные заслуги

Один из крупнейших ученых XIX столетия, австриец Людвиг Больцман (1844-1906) внес существенный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории, став одним из создателей статистической механики. Был автором эргодической гипотезы, статистического метода в описании идеального газа, основного уравнения физической кинетики. Много работал над вопросами термодинамики (H-теорема Больцмана, статистический принцип для второго начала термодинамики), теории излучения (закон Стефана - Больцмана). Также затрагивал в своих работах некоторые вопросы электродинамики, оптики и других разделов физики. Имя его увековечено в двух физических константах, речь о которых пойдет ниже.

Людвиг Больцман был убежденным и последовательным сторонником теории атомно-молекулярного строения вещества. На протяжении многих лет он вынужден был бороться с непониманием и неприятием этих идей в научном сообществе того времени, когда многие физики полагали атомы и молекулы излишней абстракцией, в лучшем случае условным приемом, служащим для удобства расчетов. Мучительное заболевание и нападки консервативно настроенных коллег спровоцировали у Больцмана тяжелую депрессию, не вынеся которой, выдающийся ученый покончил с собой. На могильном памятнике, над бюстом Больцмана, как знак признания его заслуг, выбито уравнение S = k∙logW - один из результатов его плодотворной научной деятельности. Константа k в этом уравнении - постоянная Больцмана.

Энергия молекул и температура вещества

Понятие температуры служит для характеристики степени нагретости того или иного тела. В физике применяется абсолютная шкала температур, в основу которой положен вывод молекулярно-кинетической теории о температуре как о мере, отражающей величину энергии теплового движения частиц вещества (имеется в виду, конечно, средняя кинетическая энергия множества частиц).

Как принятый в системе СИ джоуль, так и эрг, используемый в системе СГС, - слишком большие единицы для выражения энергии молекул, да и практически было весьма затруднительно измерять температуру подобным образом. Удобной единицей температуры является градус, а измерение проводится опосредованно, через регистрацию изменяющихся макроскопических характеристик вещества - например, объема.

Как соотносятся энергия и температура

Для расчета состояний реального вещества при температурах и давлениях, близких к нормальным, с успехом используется модель идеального газа, то есть такого, размер молекулы которого много меньше объема, занимаемого некоторым количеством газа, а расстояние между частицами значительно превышает радиус их взаимодействия. Исходя из уравнений кинетической теории, средняя энергия таких частиц определяется как E ср = 3/2∙kT, где E - кинетическая энергия, T - температура, а 3/2∙k - коэффициент пропорциональности, введенный Больцманом. Число 3 здесь характеризует количество степеней свободы поступательного движения молекул в трех пространственных измерениях.

Величина k, которую впоследствии в честь австрийского физика назвали константой Больцмана, показывает, какую часть джоуля или эрга содержит в себе один градус. Иными словами, ее значение определяет, насколько увеличивается статистически, в среднем, энергия теплового хаотического движения одной частицы одноатомного идеального газа при повышении температуры на 1 градус.

Во сколько раз градус меньше джоуля

Численное значение этой константы можно получить различными способами, например, через измерение абсолютной температуры и давления, используя уравнение идеального газа, или с применением модели броуновского движения. Теоретическое выведение данной величины на современном уровне знаний не представляется возможным.

Постоянная Больцмана равна 1,38 × 10 -23 Дж/К (здесь К - кельвин, градус абсолютной температурной шкалы). Для коллектива частиц в 1 моле идеального газа (22,4 литра) коэффициент, связывающий энергию с температурой (универсальная газовая постоянная), получается умножением константы Больцмана на число Авогадро (количество молекул в моле): R = kN A , и составляет 8,31 Дж/(моль∙кельвин). Однако, в отличие от последней, константа Больцмана носит более универсальный характер, поскольку входит и в другие важные соотношения, а также сама служит для определения еще одной физической постоянной.

Статистическое распределение энергий молекул

Поскольку состояния вещества макроскопического порядка представляют собой результат поведения большой совокупности частиц, они описываются с помощью статистических методов. К последним относится и выяснение того, как распределяются энергетические параметры молекул газа:

• Максвелловское распределение кинетических энергий (и скоростей). Оно показывает, что в газе, пребывающем в состоянии равновесия, большинство молекул обладает скоростями, близкими к некоторой наиболее вероятной скорости v = √(2kT/m 0), где m 0 - масса молекулы.
• Больцмановское распределение потенциальных энергий для газов, находящихся в поле каких-либо сил, например гравитации Земли. Оно зависит от соотношения двух факторов: притяжения к Земле и хаотического теплового движения частиц газа. В итоге чем ниже потенциальная энергия молекул (ближе к поверхности планеты), тем выше их концентрация.

Оба статистических метода объединяются в распределение Максвелла - Больцмана, содержащее экспоненциальный множитель e - E/ kT , где E - сумма кинетической и потенциальной энергий, а kT - уже известная нам средняя энергия теплового движения, управляемая постоянной Больцмана.

Константа k и энтропия

В общем смысле энтропию можно охарактеризовать как меру необратимости термодинамического процесса. Эта необратимость связана с рассеянием - диссипацией - энергии. При статистическом подходе, предложенном Больцманом, энтропия является функцией количества способов, которыми может быть реализована физическая система без изменения ее состояния: S = k∙lnW.

Здесь постоянная k задает масштаб роста энтропии с увеличением этого количества (W) вариантов реализации системы, или микросостояний. Макс Планк, который привел данную формулу к современному виду, и предложил дать константе k имя Больцмана.

Закон излучения Стефана - Больцмана

Физический закон, устанавливающий, как энергетическая светимость (мощность излучения на единицу поверхности) абсолютно черного тела зависит от его температуры, имеет вид j = σT 4 , то есть тело излучает пропорционально четвертой степени своей температуры. Этот закон используется, например, в астрофизике, так как излучение звезд близко по характеристикам к чернотельному.

В указанном соотношении присутствует еще одна константа, также управляющая масштабом явления. Это постоянная Стефана - Больцмана σ, которая равна приблизительно 5,67 × 10 -8 Вт/(м 2 ∙К 4). Размерность ее включает кельвины - значит, ясно, что и здесь участвует константа Больцмана k. Действительно, величина σ определяется как (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), где c - скорость света и h - постоянная Планка. Так что больцмановская константа, сочетаясь с другими мировыми постоянными, образует величину, опять-таки связывающую между собой энергию (мощность) и температуру - в данном случае применительно к излучению.

Физическая сущность константы Больцмана

Выше уже отмечалось, что постоянная Больцмана относится к числу так называемых фундаментальных констант. Дело не только в том, что она позволяет установить связь характеристик микроскопических явлений молекулярного уровня с параметрами процессов, наблюдаемых в макромире. И не только в том, что эта константа входит в ряд важных уравнений.

В настоящее время неизвестно, существует ли какой-либо физический принцип, на основе которого она могла бы быть выведена теоретически. Иными словами, ни из чего не следует, что значение данной константы должно быть именно таким. Мы могли бы в качестве меры соответствия кинетической энергии частиц использовать иные величины и иные единицы вместо градусов, тогда численное значение константы было бы другим, но она осталась бы постоянной величиной. Наряду с прочими фундаментальными величинами такого рода - предельной скоростью c, постоянной Планка h, элементарным зарядом e, гравитационной постоянной G, - наука принимает константу Больцмана как данность нашего мира и использует для теоретического описания протекающих в нем физических процессов.