Теория механизмов и машин. Практические работы

Для примера рассмотрим манипулятор, изображенный на рис. 5.

Звенья механизма обозначим арабскими цифрами, количество их n = 5.

Кинематические пары, входящие в состав данного механизма:

p 5 = 3, в том числе две вращательные (А, В) и одна поступательная (С);

р 4 = 2, сферический шарнир с пальцем (Д) и цилиндрическая пара (В). До тех пор, пока захват (звено 5) не соединяется с объектом манипулирования, кинематическая цепь является незамкнутой.

Определяем степень подвижности:

W = 6  5 - 54 - 42 = 7

Таким образом, механизм имеет 7 независимых движений для ориентации и перемещения в рабочем пространстве.

После того, как захват подведен к объекту манипулирования и объединен с ним, количество подвижных звеньев становится на единицу меньше, т.е. n = 4. Число кинематических пар остается неизменным. Теперь можно определить маневренность манипулятора.

Рис. 5. Структурная схема руки манипулятора

W = 65 - 53 - 42 = 1

Тот факт, что маневренность равна единице, означает, что при фиксированном положении захвата (неподвижная точка В) звенья механизма могут менять свое положение в зависимости от положения одного из звеньев: например, при вращении звена 2 одновременно изменятся длины сторон ВД и ДЕ, а также углы треугольника ВДЕ, то есть положение звеньев 3 и 4 является функцией угла поворота звена 2.

Задача 3. Тема «Кинематический анализ зубчатых механизмов»

Задачей кинематического анализа зубчатых механизмов является определение передаточного отношения и частоты вращения выходных звеньев.

Простейшая зубчатая передача состоит из двух колес с зубьями, посредством которых они сцепляются между собой. По форме колес различают цилиндрические, конические,эллептические, фигурные зубчатые передачи.

Наиболее распространены зубчатые колеса круглой формы, т. е. цилиндрические и конические. Коническая зубчатая передача осуществляет вращение между валами, геометрические оси которых пересекаются. По форме и расположению зубьев на колесе различают прямые, косые, шевронные, круговые и другие криволинейные зубья.

Постоянство передаточного отношения зубчатой передачи обеспечивается формой профиля зубьев. Наибольшее распространение получил эвольвентный профиль, так как отличается простотой изготовления (методом копирования или обкатки).

При нарезании зубчатых колес с числом зубьев эвольвентного профиля меньше некоторого предельного значения происходит подрез ножек зубьев, в результате чего прочность зубьев значительно снижается. Для устранения подрезания применяют зубчатые зацепления со смещением или так называемые корригированные зубчатые передачи.

К основным геометрическим параметрам, характеризующим зубчатое зацепление, относятся: модуль, угол зацепления, диаметры делительной, начальной и основной окружностей, коэффициент перекрытия.

Зубчатые механизмы подразделяются на механизмы с неподвижными и подвижными осями вращения.

Для выполнения кинематического анализа необходимо определить передаточное отношение зубчатой передачи.

Передаточным отношением U 1 i называется отношение угловой скорости ω 1 зубчатого колеса 1 к угловой скорости i го ω i зубчатого колеса. Вместо угловых скоростей можно использовать также понятие частоты вращения n:

U 1 i = ω 1 / ω i = n 1 / n i . (3.1)

Угловые скорости колес, находящихся в зацеплении, обратно пропорциональны радиусам начальных окружностей r w и числам зубьев колес Z.

Таким образом, передаточное отношение для пары цилиндрических колес внешнего зацепления (рис.6, а)

внутреннего зацепления (рис.6, б)

Общее передаточное отношение многозвенного механизма равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней

U 1 i = U 12  U 23  U 34 ...U (i -1) i (3.3)

определить число ступеней в передаче;

найти передаточное отношение каждой ступени;

перемножить передаточные отношения ступеней.

Полученное число и будет передаточным отношением многоступенчатой передачи.

Механизмы с одной степенью свободы, имеющие неподвижное колесо, называют планетарными. Особенность планетарных механизмов - наличие зубчатых колес (сателлитов) с движущимися геометрическими осями.

б

Продолжение рис.6.

Механизмы с числом степеней свободы W > 2, которые обычно не имеют неподвижного колеса, называют дифференциальными.

Поскольку сателлиты в передачах с подвижными осями совершают сложное вращательное движение, то определение передаточного движения производят методом обращенного движения .

Условие. Исходные данные к задаче 3 приведены в табл.4, кинематические схемы зубчатых механизмов представлены на рис.7. Определить число степеней подвижности механизма, неизвестные числа зубьев колес и частоту вращения колес.

Схема 0 Схема 1

Схема 2 Схема3

Схема 4 Схема 5

Схема 6 Схема 7

Продолжение рис. 7

Схема 8 Схема 9

Окончание рис. 7

Таблица 4

Варианты исходных данных к задаче 3

Отчет

Лабораторные работы по ТММ

Выполнили : Морохин В.О.

Специальность: АС

Курс: 3

Форма обучения: очная

Проверил : Сухоруков И.Н.

Сыктывкар 2014

Лабораторная работа №1

Определение основных параметров зубчатых колес с помощью инструментов

Цель работы: определение основных размеров зубчатых колес.

Задачи работы: 1. Измерение размеров зубчатого колеса.

2. Определение модуля и основных параметров.

Обеспечивающие средства:зубчатое колесо, штангенциркуль, калькулятор, чертежныеинструменты.

Теоретическая часть

На рис. 1 и 2 показаны основные параметры зубчатого колеса.

Основные параметры зубчатого колеса:

z – число зубьев;

m t – модуль зацепления;

d – диаметр делительной окружности;

d b – диаметр основной окружности;

б – угол зацепления;

P t – шаг зацепления;

d a – диаметр окружности выступов (головок);

d f – диаметр окружности впадин (ножек);

S t – толщина зуба по дуге делительной окружности;

S tx – толщина зуба по хорде делительной окружности;

h a – высота головки зуба;

h f – высота ножки зуба.

Модуль зацепления колеса с эвольвентным профилем зуба может быть определен на основании следующего свойства эвольвентного зацепления: «Нормаль, проведенная в любой точке соприкасающихся эвольвентных профилей, является касательной к основной окружности». Если измерить расстояние между зубьями по нормали, то это будет шаг зацепления по основной окружности. Для этого необходимо штангенциркулем измерить расстояния и . При этом, чтобы измерение происходило по нормали, число зубьев для должно соответствовать значению табл. 1, в зависимости от общего числа зубьев .

Таблица 1

При измерении штангенциркулем охватывается на один зуб больше:

Шаг зацепления по основной окружности:

Модуль зацепления определяется по формуле:

где – угол зацепления, равный 20 ° .

Полученное значение модуля необходимо уточнить, округляя до ближайшего стандартного значения (табл. 2).

Таблица 2

Стандарт нормальных модулей по ГОСТ 1597

где – диаметр окружности выступов, который измеряется штангенциркулем непосредственно при четном числе z z .

При несовпадении значений модуля, полученных по формулам, необходимо повторить замеры.

Для колес, нарезанных с нулевым сдвигом, основные параметры определяются по следующим формулам:

диаметр делительной окружности:

диаметр основной окружности:

диаметр окружности выступов (головок):

диаметр окружности впадин (ножек):

высота головки зуба:

высота ножки зуба:

шаг зацепления:

толщина зуба по дуге делительной окружности:

толщина зуба по хорде делительной окружности:

Величину можно непосредственно измерить штангенциркулем (рис. 2). Для этого предварительно вычисляют величину:

Практическая часть

1) Число зубьев –Z = 23;

2) l 1 =28 мм, l 2 =46 мм.

Шаг зацепления по основной окружности: Р t b =l 2 -l 1 =46-28=18 мм

3) Модуль зацепления:

m t = Р t b /(π·cosα) = 18/(3,14·cos20) = 6 мм

По таблице 2 определяем интервал, т.к величина модуля 6,1, то интервал 0,5

4) d a = 150 мм - диаметр окружности выступов, который измеряется штангенциркулем непосредственно при четном числе z или косвенно при нечетном числеz .

Правильность определения модуля проверяется формулой:

m t = d a /(Z+2) = 150/(23+2)=6

5) Для колес, нарезанных с нулевым сдвигом, основные параметры определяются по следующим формулам:

· диаметр делительной окружности:

d=m t ·Z = 6·23=138 мм;

· диаметр основной окружности:

d b = d·cosα = 138·cos20 = 129,7мм;

· диаметр окружности выступов (головок):

d a = m t ·(Z+2) = 6·(23+2) = 150 мм;

· диаметр окружности впадин (ножек):

d f = m t ·(Z-2,5) = 6·(23-2,5) = 123 мм;

· высота головки зуба:

h a = (d a - d)/2=(150 - 138)/2 = 6 мм;

· высота ножки зуба:

h f = (d - d f)/2 = (138-123)/2 = 7,5 мм;

· шаг зацепления:

P t = π·m t = 3,14·6 = 18,8 мм;

· толщина зуба по дуге делительной окружности:

S t = P t /2 = (π·m t)/2 = 9,4 мм;

· толщина зуба по хорде делительной окружности:

S tx = d·sin[(S t ·57,3)/d] = 138·sin[(9,4·57,3)/138] = 9,4мм.

6) Замерить d a и, d f: d a = 150 мм, d f = 123 мм. Замеренноеd a и d f совпадают с расчетными значениями.

Вывод к работе:определили основные параметры зубчатых колес: число зубьев, модуль зацепления, диаметр делительной окружности, шаг зацепления.

Лабораторная работа №2

Кинематический анализ зубчатых механизмов

Цель работы: освоить проведение кинематического исследования зубчатых механизмованалитическим и опытным методами.

Задачи работы:

1. Составить по модели кинематическую схему зубчатого механизма.

2. Вычислить число степеней свободы зубчатого механизма по П. Л. Чебышёву.

3. Вычислить передаточное отношение зубчатого механизма аналитическим и экспериментальным методом.

4. Определить погрешность экспериментального метода в сравнении с аналитическим.

Обеспечивающие средства: модели зубчатых механизмов, чертежные инструменты,калькулятор.

Теоретическая часть

Передаточное отношение является основным кинематическим параметром зубчатых механизмов. Согласно ГОСТ 16530-83 передаточным отношением называется отношение угловых скоростей звеньев (или частоты вращения), т.е. где ω1 - угловая скорость ведущего звена,

ω2 - угловая скорость ведомого звена механизма.

Зубчатая передача - трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими со стойкой вращательные пары.

Зубчатое зацепление - кинематическая пара, образованная зубчатыми колесами передачи.

Блок зубчатых колес - звено, образованное несколькими, жестко связанными между собой зубчатыми колесами с общей осью вращения. Сложные зубчатые механизмы делятся на ряды и планетарные механизмы.

Ряд зубчатых колес - механизм, все зубчатые колеса которого вращаются вокруг неподвижных осей.

Планетарный зубчатый механизм- механизм, в состав которого входят зубчатые колеса с подвижными осями вращения.

Степень подвижности зубчатых механизмов можно определить по формуле Чебышева:

W=3n-2р 5 -р 4 ,

где n-число подвижных звеньев

р 4 , р 5 -кинематические пары с одной и с двумя наложенными связями.

Практическая часть

Порядок выполнения работы:

1. Составить кинематическую схему механизма.

3. Определить тип зубчатого механизма.

5. Проверить передаточное отношение механизма путем измерения углов поворота ведущего и ведомого звеньев.

1. Механизм с неподвижными осями с эвольвентным зацеплением конической и цилиндрической формы.

W = 3n – 2p 5 – p 4 = 3·3 - 2·3 -2 = 1 – степень подвижности

Передаточное отношение каждой пары:

i 12 = Z 2 /Z 1 = 25/25 = 1

i 34 = Z 4 /Z 3 = 100/75=1,3

i 14 = i 12 ·i 34 = 1·1,3 = 1,3

i 14 = φ 1 / φ 2 = 1,3

2. Механизм с подвижными осями с эвольвентным зацеплением цилиндрической формы.

W = 3·3 - 2·3 – 2 = 1 – степень подвижности

Передаточное отношение:

Вывод к работе: передаточное отношение, вычисленное расчетным путем равно передаточному отношению, измеренному экспериментальным путем.

Лабораторная работа №3

Построение эвольвентных профилей зубьев методом обката

Цель работы: корригирование модели зубчатого колеса на модели станочного зацепления

Задачи работы:

1. Построение профиля зубьев на модели станочного зацепления с подрезанием.

2. Вычисление коэффициента смещения, необходимого для устранения подрезания, для

данной модели.

3. Построение профиля зубьев на модели станочного зацепления с нулевым, положительным и отрицательным сдвигом и сдвигом, устраняющем подрезание.

Обеспечивающие средства: модель станочного зацепления, чертежные инструменты,калькулятор.

Теоретическая часть

Нарезание эвольвентных профилей методом обката или огибания является наиболее распространенным способом производства зубчатых колес. Режущим инструментом в этом случае может быть зубчатая рейка, червячная фреза или долбяк в форме шестерни. При обкатке режущий инструмент и заготовка движутся относительно друг друга так же, как при зацеплении зубчатой рейки с колесом. Для нарезания эвольвентных колес с крупным модулем более приспособлены зубострогальные станки с инструментом в виде рейки. Положительными свойствами инструментальной рейки является простота режущей кромки (прямая линия) и возможность одним инструментом нарезать профили с разными параметрами.

Модульная прямая рейки – средняя прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины.

Делительная прямая рейки – прямая, касающаяся делительной окружности колеса.

Делительная окружность колеса – окружность, на которой шаг зацепления равен шагу рейки.

Если делительная окружность колеса касается модульной прямой рейки, то профиль зуба будет нулевым (нормальным), не корригированным.

Корригированными или исправленными называются зубчатые колеса, нарезанные смешанной рейкой с целью уменьшения габаритов и улучшения качества зацепления: устранения подреза ножки зуба, увеличения коэффициента перекрытия, уменьшения износа, повышения прочности зуба.

Расстояниех между модульной и делительной прямыми называется сдвигом рейки, положительным (+ х ) в направлении от центра колеса и отрицательным (- х ) в направлении к центру.

Коэффициентом сдвига называется отношение: ξ 0 =x/m

Величина коэффициента сдвига, необходимая для устранения подреза ножки зуба, определяется формулой:

где коэффициент высоты головки зуба:

z – число зубьев колеса;

α – угол профиля рейки.

Приf = 1иα = 20 o формула приобретает вид:

Практическая часть

Модуль m t = 14 мм.

Диаметр делительной окружности d = 126 мм.

Угол профиля рейки α p = 20 o .

Величины параметров колес (Х=0)

1. Число зубьев:

Z=d/m t = 126/14=9.

2. Сдвиг рейки, устраняющий подрезание ножки зуба (Х 0)

Х 0 = m t ·(17-Z)/17 = 14·(17-9)/17=6.6 мм

3. Диаметр основной окружности:

d b = d·cosα p = 126·cos20 o = 118,4 мм.

4. Диаметр окружности головок:

d a = m t ·(Z+2) = 14·(9+2) = 154 мм.

5. Шаг зацепления:

P t = π·m t = 3,14·14 = 44 мм.

6. Толщина зуба по дуге делительной окружности:

S t = (π·m t)/2 = (3,14·14)/2 = 22 мм

7. Толщина зуба по хорде делительной окружности:

S tx = d·sin(S t ·57,3/d) = 126·sin(22·57,3/126) = 21,9мм

Величины параметров исправленных колес.

Вывод к работе:определено смещение, необходимое для устранения подрезания зубьев и равное 6,6 мм.

Лабораторная работа №4

Составление Кинематической схемы.

Структурный анализ и классификация механизма.

Цель работы: овладение методикой составления кинематических схем и проведенияструктурного анализа механизмов.

Задачи работы:

1. Составление кинематической схемы механизма.

2. Проведение структурного анализа механизма.

Обеспечивающие средства: модели механизмов, чертежные и измерительные инструменты.

Теоретическая часть.

Общие положения.

Механизм состоит из отдельных звеньев, относительное движение которых ограничено.Подвижное соединение двух звеньев, взаимно ограничивающее их относительное движение,называется кинематической парой . Точки, линия или поверхность, по которым звенья входят вовзаимное соприкосновение, называются элементами кинематической пары . Если элементомпары является точка или линия, то она относится к высшей паре, а если поверхность – к низшей.

В зависимости от числа условий связи, т. е. от количества ограничений, накладываемыхна относительное движение звеньев, кинематические пары подразделяются на пять классов. Кпервому классу относятсякинематические пары, накладывающие одно условие связи, ко второму – два и т. д. Твердое тело в пространстве обладает шестью степенями свободы. Следовательно, число условий связи, накладываемых кинематической парой, будет равняться разностимежду числом 6 и числом степеней свободы, которым обладает каждое звено в относительномдвижении:

S = 6 -W .

Кинематической цепью называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами. Простой кинематической цепью называется цепь, в которой каждое звеновходит не более чем в две кинематические пары. Сложной кинематической цепью называетсяцепь, в которой имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары.Простые и сложные кинематические цепи в свою очередь делятся на замкнутые и незамкнутые.

Механизмом называется кинематическая цепь, в которой одно звено обращено в стойку(неподвижное), а движение ведомых звеньев вполне определяется заданным движением ведущих. Ведущим называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил,приложенных к нему, является положительной,а ведомым – отрицательной или равной нулю.Число степеней свободы кинематической цепи определяется относительно звена, принятого за неподвижное. Для общего случая формула подвижности, или структурная формула кинематической цепи, имеет вид.

1. Исключать из кинематической схемы механизма пассивные связи и лишние степени свободы(W).

2. Заменять плоские кинематические пары 4 класса на кинематические пары 5 класса, при этом заменяющий механизм должен иметь число степеней свободы прежнего механизма и выполнять все его движения.

3. Начинать отсоединение структурной группы с наиболее удаленной от ведущего звена механизма.

4. Отсоединять в первую очередь структурную группу II класса (если отсоединить структурную группу II класса не удается, отсоединяют структурную группу III класса и т.д.).

5. Следить, чтобы при отсоединении структурной группы оставшийся механизм сохранял свою работоспособность, т.е. не разваливался.

Замена кинематической пары 4 класса на кинематическую пару 5 класса.

Любая плоская кинематическая пара 4 класса заменяется двумя кинематическими парами 5 класса (вращательная и поступательная), соединенными между собой фиктивными звеньями.

Примеры: Дан зубчатый механизм . Требуется заменить кинематические пары 4 класса на кинематические пары 5 класса (рис.):

Решение:

Здесь n=2, P 5 =2, P 4 =1(т.В),

тогда W=3·2-2·2-1=1

Через т. В проводят касательную t-t к звену 2. Через т. В под углом к t-t проводят N-N . Из точек А и С проводят перпендикуляры к N-N . В точках их пересечения с N-N устанавливают вращательные кинематические пары 5 класса: К и L K-L.

Угол зацепления звена 1 и звена 2 друг с другом.

(W).

Здесь n=3, P 5 =4, P 4 =0 , тогда W=3·3-2·4=1

Дан фрикционный механизм , рис.

Здесь: n=2, P 5 =2, P 4 =1(т.В)

Тогда: W=3·2-22-1=1

Составляют кинематическую схему заменяющего механизма и определяют число степеней свободы W ,

Здесь: n=3, P 5 =4, P 4 =0. Тогда W=3·3-2·4=1

Дан кулачковый механизм , рис.

Решение:

Здесь n=2, P 5 =2, P 4 =1

Тогда W=3·2-2·2-1=1

Через т. В проводят касательную t-t к

звену 1 и звену 2. Через т. В перпендикулярно к t-t проводят N-N . На N-N находят центры кривизны звена 1 и звена 2, устанавливают в них вращательные кинематические пары 5 класса: К и L , которые соединяют фиктивными звеньями К-L , рис.

Составляют кинематическую схему заменяющего механизма и определяют число степеней свободы W , рис.

Здесь n=3, P 5 =4, P 4 =0 , тогда W=3·3-2·4=1

Примеры выполнения структурного анализа механизма.

Дано: Кинематическая схема механизма .

Требуется выполнить структурный анализ механизма.

Решение:

а) Звенья подвижные: 1,2,3,4,5 . Кинематические пары: А, А", B, C, D, E, E"

б) W=3n-2P 5 - P 4 , здесь n=5, P 5 =7, P 4 =0 → W=3·5-2·7=1

Механизм развалился, т. к. при вращении звена 1 звено 4 будет неподвижным.

Следовательно, выполнено неверно.

В этом случае отсоединяют структурная группа III класса

3.Остаются звенья 0,1 с кинематической парой А .

W=3·1-2·1=1

Следовательно, ведущее звено – это механизм I класса.

Формула строения I (0,1) → III 3 (2,3,4,5).

Основной механизм III класса.

1) Отсоединяют звенья 1,2 с кинематическими парами A,B,C,

n=2, P 5 =3, W=3·2-2·3=0.

2) отсоединяют звенья 3,4 с кинематическими парами А",D,E,

n=2, P 5 =3, W=3·2-2·3=0

Структурная группа II класса 2 порядка

3) остаются звенья 0,5 с кинематической парой Е ",

n=1, P 5 =1, W=3·1-2·1=1

Ведущее звено – это механизм I класса.

Дана кинематическая схема механизма 5 класса . Требуется выполнить структурный анализ механизма.

Звенья: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 6, 0

Кинематические пары: А, B, C, D, D", E, F, K

W=3n-2P 5 -P 4 , здесь n=6, P 5 =8, P 4 =0 → W=3·6-2·8=2

1) отсоединяют звенья 4,5 с кинематическими парами D,D",E.

n=2, P 5 =3, W=3·2-2·3=0.

Рассматривается основной механизм с звеньями 0,1,2,3,6,0.

Механизм не развалился, т.к. при вращении звенья 1 и 6 будут подвижными.

Отсоединение структурной группы выполнено верно.

2) Отсоединяют от основного механизма звенья 2 и 3 с кинематическими парами B,C,F , рис.

n=2, P 5 =3, W=3·2-2·3=0

Структурная группа II класса 2 порядка.

3) остаются ведущие звенья 0,1 с кинематической парой А и звенья 0,6 с кинематической парой К .

Механизм I класса Механизм I класса

4) запишем формулу строения механизма:

II 2 (2,3) → II 2 (4,5)

I (0,6) Механизм II класса

Кинематический анализ зубчатых механизмов.

Задачей кинематического анализа зубчатых механизмов является определение их передаточных отношений.

Зубчатый механизм - это механизм, состоящий из зубчатых колес и предназначенных для передачи вращения от одного вала машины к другому её валу с изменением величины передаваемого крутящего момента (М кр).

Крутящий момент зависит от передаточных отношений, чем больше передаточное отношение, тем больше крутящий момент (М кр). Зубчатый механизм устанавливают между двигателем и рабочим механизмом.

Зубчатый механизм, служащий для уменьшения частоты вращения или числа оборотов вала двигателя называется редуктором; для увеличения - мультипликатором; причем редуктор увеличивает крутящий момент (М кр), а мультипликатор - уменьшает его.

Различают простые, планетарные (сателлитные), ступенчатые, дифференциальные и замкнутые дифференциальные зубчатые механизмы.

Планетарные зубчатые механизмы, передаточное отношение.

Частные передаточные отношения планетарных зубчатых механизмов.

Планетарный зубчатый механизм – это механизм, у которого хотя бы одна ось с группой зубчатых колес (сателлиты) подвижна в пространстве.

Планетарные механизмы применяют для получения больших передаточных отношений при меньших габаритах и весе, по сравнению с простыми зубчатыми механизмами. Планетарный зубчатый механизм состоит из центрального колеса, сателлитов (число сателлитов от 2 до 12) неподвижного колеса и водила (центральная подвижная ось сателлитов). Они имеют W=1 и бывают следующих видов: 1) редуктор Джемса (рис.8)

Здесь: 1 – центральное (солнечное) колесо; 2 – сателлит; 0 – неподвижное колесо; Н – водило (подвижное кинематическое звено).

W = 3n - 2P 5 - P 4

Здесь: n = 3 (1,2,H), P 5 = 3 (A, B, C), P 4 = 2 (D, E).

Тогда: W=3·3-2·3-2=1

Передаточное отношение планетарного зубчатого механизма определяется по формуле Виллиса:

(1)

Рядовый цилиндрический планетарный зубчатый механизм 1- 0 (рис.9).

Тогда: (2)

Подставляем (2) в (1):

Определяем: а) обратное передаточное отношение

в) передаточное отношение от центрального зубчатого колеса к любому подвижному колесу (например, ксателлиту)

.

2) редуктор Давида с внешним зубчатым зацеплением (рис.10).

Два или несколько зубчатых колеса, жестко закрепленные на одной оси представляют собой одно колесо и обозначаются одинаковыми цифрами; причем второе, третье зубчатое колесо будут с одним, двумя и т.д. штрихами. На рис.10: 2 - 2" .
, (1)

где – передаточное отношение ступенчатого планетарного механизма.

Тогда:
(2)

Подставляют (2) в (1): .

Целью кинематического анализа является определение угловых скоростей звеньев и передаточных отношений.

Передаточное отношение между звеньями a и b определяется как отношение их угловых скоростей (или частот вращения):

Угловые скорости и частоты вращения связаны соотношениями

;
.

Очевидно, что перестановка индексов у величины приводит к получению обратной величины, т.е.
.

Если оси вращения звеньев a и b параллельны, то передаточному отношению и угловым скоростямиприсваиваются знаки «+» или «-» по следующим правилам:

 любое из двух возможных направлений вращения принимают за положительное (обычно положительным считают направление вращения входного вала механизма), тогда угловая скорость каждого звена кинематической цепи приобретает вполне определенный знак;

 при одинаковом направлении угловых скоростей, входящих в (3.1), они имеют одинаковые знаки и, следовательно, определяют положительное передаточное отношение.

, (3.2)

а для пары внешнего зацепления (рис. 3.2) -

. (3.3)

3.1. Кинематика рядовых механизмов

Зубчатый механизм, у которого все звенья вращаются вокруг неподвижных осей, называют рядовым . Такой механизм может быть одноступенчатым (рис. 3.1 и 3.2) и многоступенчатым (рис. 3.3 и 3.4).

В многоступенчатом рядовом механизме число ступеней совпадает с числом зацеплений, его общее передаточное отношение определяют как произведение передаточных отношений всех последовательно соединенных ступеней.

Так, для трехступенчатого механизма по рис. 3.3 общее передаточное отношение
определится по формуле

На рис. 3.4 также представлен трехступенчатый механизм, у которого колеса
образуют соосную кинематическую цепь, причем колесоучаствует одновременно в двух зацеплениях – в одном как ведомое, в другом как ведущее (такие колеса называютсвязанными ); для этого механизма

Отметим, что при
(выходной валB вращается медленнее входного вала A ) механизм называют редуктором , а при
–мультипликатором .

3.2. Кинематика планетарных и дифференциальных механизмов

Планетарные и дифференциальные механизмы включают в себя колеса, оси которых являются подвижными. Рычаг, на котором расположены эти оси, называют водилом , а колеса с подвижными осями – сателлитами . Неподвижная ось вращения водила является центральной осью механизма. Колеса, которые вращаются или могут вращаться относительно центральной оси и при этом зацепляются с сателлитами, называют центральными или солнечными.

В планетарную ступень входят: водило; сателлиты, размещенные на этом водиле; колеса, которые зацепляются с этими сателлитами.

Колесо и водилоH вращаются относительно центральной оси механизма.

Сателлит совершает сложное движение, состоящее из двух вращательных: вокруг своей геометрической оси и одновременно, вместе с водилом, вокруг центральной оси механизма.

У этого механизма две степени свободы

поэтому его называют дифференциальным механизмом , или дифференциалом . Кинематику такого механизма можно описать формулой

; (3.4)

здесь
– абсолютные угловые скорости соответствующих звеньев (величины алгебраические – положительные или отрицательные),– передаточное отношениеобращенного механизма (т.е. такого воображаемого рядового механизма, который получают из заданного планетарного мысленной остановкой водила).

Из (3.4) видно, что для кинематической определимости этого механизма из трех угловых скоростей две должны быть заданы, т.е. механизм действительно является дифференциалом.

Общий вид формулы (3.4), пригодный для описания кинематики практически любого планетарного механизма, имеет вид

; (3.5)

ее называют формулой Р. Виллиса. Здесь a и b – любые два колеса одной и той же планетарной ступени, – передаточное отношение отa к b в обращенном (рядовом) механизме, это отношение всегда выражается через числа зубьев колес.

Величины угловых скоростей имогут быть любыми; в частности, при
(т.е. колесо b неподвижно) отношение
, и тогда формула Р. Виллиса приобретает вид

. (3. 6)

Формула (3.5) более универсальна и пригодна для любого планетарного механизма, тогда как (3.6) можно применять только для таких планетарных ступеней, у которых имеются неподвижные колеса (рис. 3.6 – 3.8).

На рис. 3.6 показана схема редуктора Джемса с двухвенцовым сателлитом . Для него

, (3. 7)

передаточное отношение обращенной ступени

; (3. 8)

сопоставляя (3.7) и (3.8), найдем передаточное отношение редуктора

. (3. 9)

Таким же способом найдем передаточное отношение редуктора Джемса с одновенцовым сателлитом (рис. 3.7):

, (3.10)

; (3.11)

. (3. 12)

Для редуктора Давида (рис. 3.8), также имеющего неподвижное колесо в составе ступени, входным звеном является водило H , что отличает эту схему от двух других при выводе формулы для
:

; (3.13)

; (3. 14)

. (3. 15)

В этих примерах показано применение формулы Виллиса в виде (3.6), хотя было бы вполне корректным и допустимым использование ее в виде (3.5).

Все схемы по рис. 3.6 – 3.8 имеют в своем составе три центральных звена – два центральных колеса и водило; каждое из этих звеньев нагружено вращающим моментом либо от источника движения, либо от потребителя мощности (ведомого звена), либо моментом от стойки. Такие звенья называют основными и в соответствии с их видом и количеством (в данном случае – два колеса и водило) подобным схемам присвоено обозначение типа 2 KH .

Найдем передаточное отношение
этого механизма:

. (3.16)

Обращенный механизм для данной схемы представляет собой разветвляющуюся рядовую кинематическую цепь, каждой из двух ее ветвей соответствует свое передаточное отношение:

;
. (3.17)

После очевидных подстановок получаем

. (3.18)